Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & x & x^{2} \\ 1 & x^{2} & x^{4} \\ 1 & x^{4} & x^{6} \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- x | \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$- x | \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} | - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & x^{4} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (1 x^{6} - x^{4}) + x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} | - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Paso 2.2

Multiplica $x^{6}$ por $1$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} | - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{6} \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (1 x^{6} - x^{2}) - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Paso 3.2

Multiplica $x^{6}$ por $1$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} | \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & x^{2} \\ 1 & x^{4} \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (1 x^{4} - x^{2})$

Paso 4.2

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$- x (x^{6} - x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x \cdot x^{6} - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.2

Multiplica $x$ por $x^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.2.1

Mueve $x^{6}$ .

$- (x^{6} x) - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $x^{6}$ por $x$ .

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Paso 5.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- (x^{6} x^{1}) - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{6 + 1} - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.2.3

Suma $6$ y $1$ .

$- x^{7} - x (- x^{4}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{4} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $x$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.4.1.1

Mueve $x^{4}$ .

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 (x^{4} x) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.4.1.2

Multiplica $x^{4}$ por $x$ .

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Paso 5.1.4.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 (x^{4} x^{1}) + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 x^{4 + 1} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.4.1.3

Suma $4$ y $1$ .

$- x^{7} - 1 \cdot - 1 x^{5} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- x^{7} + 1 x^{5} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.4.3

Multiplica $x^{5}$ por $1$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{2} (x^{6} - x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{7} + x^{5} + x^{2} x^{6} + x^{2} (- x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.6

Multiplica $x^{2}$ por $x^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.6.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{7} + x^{5} + x^{2 + 6} + x^{2} (- x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.6.2

Suma $2$ y $6$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} + x^{2} (- x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{2} x^{2} - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.8

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.8.1

Mueve $x^{2}$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - (x^{2} x^{2}) - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{2 + 2} - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.8.3

Suma $2$ y $2$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{4} (x^{4} - x^{2})$

Paso 5.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{4} x^{4} - x^{4} (- x^{2})$

Paso 5.1.10

Multiplica $x^{4}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.10.1

Mueve $x^{4}$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - (x^{4} x^{4}) - x^{4} (- x^{2})$

Paso 5.1.10.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{4 + 4} - x^{4} (- x^{2})$

Paso 5.1.10.3

Suma $4$ y $4$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - x^{4} (- x^{2})$

Paso 5.1.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 x^{4} x^{2}$

Paso 5.1.12

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.12.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.12.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{4})$

Paso 5.1.12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 4}$

Paso 5.1.12.1.3

Suma $2$ y $4$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} - 1 \cdot - 1 x^{6}$

Paso 5.1.12.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} + 1 x^{6}$

Paso 5.1.12.3

Multiplica $x^{6}$ por $1$ .

$- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} + x^{6}$

Paso 5.2

Combina los términos opuestos en $- x^{7} + x^{5} + x^{8} - x^{4} - x^{8} + x^{6}$ .

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Paso 5.2.1

Resta $x^{8}$ de $x^{8}$ .

$- x^{7} + x^{5} - x^{4} + 0 + x^{6}$

Paso 5.2.2

Suma $- x^{7} + x^{5} - x^{4}$ y $0$ .

$- x^{7} + x^{5} - x^{4} + x^{6}$